題目:如圖1,在△ABC中,AB>AC,△ABC內(nèi)兩點X,Y均在∠BAC的平分線上,且滿足∠ABX=∠ACY.設BX的延長線與線段CY交于點P,△BPY的外接圓與△CPX的外接圓交于另一點Q.

求證:A,P,Q三點共線.

思考過程:注意到P,Q為兩圓根軸,我們可以考慮證明A在兩圓根軸上.

因此,我們可以證明A對兩圓等冪,

為了求出A對兩圓的冪,延長AY交△CPX的外接圓于M,交△BPY的外接圓于N(如圖2)

即證AY*AN=AX*AM.③

接下來,我們就圍繞著這幾條邊來倒邊.

由切割弦定理,我們可以得到AY*AN=AG*AB①

易證△ABX與△ACY相似,根據(jù)相似比,可以得到

AB/AX=AC/AY②

聯(lián)立①②③

可以推出我們只需要證明AB/AN=AC/AM.

注意到這是△ABN與△ACM的對應邊比,因此連接QN,BN(如圖3)

我們只需要證明△ABN與△ACM相似.

由∠BNY=∠BPY=∠XMC和AY角平分線可以得到相似,命題得證.

下面,給出證明過程.

由切割弦定理,AY*AN=AG*AB①

∵AY是角平分線

∴∠BAN=∠YAC

又∵∠ABX=∠ACY

∴△ABX∽△ACY

∴AB/AX=AC/AY②

又∵∠BNY=∠BPY=∠XMC

∴△ABN∽△ACM

∴AB/AN=AC/AM③

聯(lián)立①②③得

AY*AN=AX*AM

即A對兩圓等冪,A在兩圓根軸PQ上.

∴A,P,Q三點共線.

證畢

函數(shù)圖像網(wǎng)址:https://www.desmos.com/geometry-beta/mzfjcnxzhv?lang=zh-CN

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