每個大于等于9的奇數都是3+兩個奇素數之和

崔坤

中國青島即墨，266200，E-mail:cwkzq@126.com

摘要: 數學家劉建亞在《哥德巴赫猜想與潘承洞》中說：“我們可以把這個問題反過來思考, 已知奇數N可以表成三個素數之和， 假如又能證明這三個素數中有一個非常小，譬如說第一個素數可以總取3， 那么我們也就證明了偶數的哥德巴赫猜想?！?， 直到2013年才有秘魯數學家哈羅德賀歐夫格特徹底證明了三素數定理。

關鍵詞:三素數定理，奇素數，加法交換律結合律

中圖分類號：O156 文獻標識碼： A

證明：

根據2013年秘魯數學家哈羅德·賀歐夫格特已經徹底地證明了的三素數定理：

每個大于等于9的奇數都是三個奇素數之和，每個奇素數都可以重復使用。

它用下列公式表示：Q是每個≥9的奇數，奇素數：q1≥3，q2≥3，q3≥3，

則Q=q1+q2+q3 根據加法交換律結合律，不妨設：q1≥q2≥q3≥3，

則Q-3=q1+q2+q3-3 顯見：有且僅有q3=3時，Q-3=q1+q2，否則，奇數9，11，13都是三素數定理的反例。

即每個大于等于6的偶數都是兩個奇素數之和

推論Q=3+q1+q2，即每個大于等于9的奇數都是3+兩個奇素數之和。

我們運用數學歸納法做如下證明：

給出首項為9，公差為2的等差數列：Qn=7+2n：{9,11,13,15,17,.....}

Q1= 9

Q2= 11

Q3= 13

Q4= 15

.......

Qn=7+2n=3+q1+q2,(其中奇素數q1≥q2≥3，奇數Qn≥9，n為正整數）

數學歸納法：

第一步：當n=1時 ，Q1=9 時 ，Q1=9=3+q1+q2=3+3+3成立

第二步：假設 ：n=k時，Qk=3+qk1+qk2成立。

當n=k+1時,Q（k+1）=Qk+2=3+qk1+qk2+2。

此時有且僅有2種情況：

A情況:qk1+2不為素數或者qk2+2不為素數時，Qk+2=Q（k+1）=5+qk1+qk2

即每個大于等于11的奇數都是5+兩個奇素數之和，

而這個結論與“每個大于等于9的奇數都是3+兩個奇素數之和”是等價的

B情況:

(1)若qk1+2為qk1的孿生素數P,

則：Qk+2=3+P+qk2,即每個大于等于11的奇數都是3+兩個奇素數之和

(2) 若qk2+2為qk2的孿生素數P”,

則：Qk+2=3+P”+qk1，即每個大于等于11的奇數都是3+兩個奇素數之和

綜上所述，對于任意正整數n命題均成立，即：每個大于等于9的奇數都是3+兩個奇素數之和

結論：每個大于等于9的奇數都是3+兩個奇素數之和，Q=3+q1+q2，（奇素數q1≥q2≥3，奇數Q≥9）

例如：任給一個奇數：a…3, 其中a為非零自然數，a…3為n位奇數(n≥2），

則：a…0是兩個奇素數之和。

證明：

根據三素數定理則有： a…3=q1+q2+q3，其中奇素數：q1≥3，q2≥3，q3≥3；

根據加法交換律結合律， 不妨設：q1≥q2≥q3≥3，則： a…3-3=q1+q2+q3-3

顯見，有且僅有q3=3時， 則有：a…3-3=q1+q2，即：a…0=q1+q2

同理可證偶數：

a…2；

a…4；

a…6；

a…8都是2個奇素數之和。

參考文獻：

[1] Major Arcs for Goldbach's Theorem. Arxiv [Reference date 2013-12-18]

[2] Minor arcs for Goldbach's problem．Arxiv [Reference date 2013-12-18]