還沒(méi)看懂嗎？讓課代表來(lái)為你總結(jié)吧

命題人考我，我會(huì)了！??！耶?

目錄

1^a+2^a+...n^a=n^(a+1) /a+1 （a＞-1）n→∞

1^n+2^n+...+n^n＝en^n /e-1 n→∞

一·1^a+2^a+...n^a=n^(a+1) /a+1 （a＞-1）n→∞

1·證明（1）有如下方法

i)利用定積分定義 參考3:30

ii)利用stolz公式計(jì)算*/∞型極限

iii)利用級(jí)數(shù)與積分不等式放縮和夾逼準(zhǔn)則

二·1^n+2^n+...+n^n＝en^n /e-1 n→∞

1·證明（2）核心思路：將級(jí)數(shù)倒序排列，方便放縮。

①∵∑（k=1到n）（k/n）^n=∑（k＝0到n-1）（n-k /n)^n 倒序排列

≤∑（k=0到n-1）e^(-k) ∑里面的函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)易證

＝e/ e-1 n→∞

②∵∑（k=1到n）（k/n）^n=∑（k＝0到n-1）（n-k /n)^n 倒序排列

≥∑（k＝0到N）（n-k /n)^n 丟掉部分尾巴項(xiàng)

＝e /e-1 讓N→∞

綜上所述，lim∑（k=1到n）（k/n）^n＝e /e-1

即(1^n+2^n+...+n^n)/n^n ＝e /e-1 n→∞