一道抽代習題

2022-11-12 21:55 作者:noobzz_ 0人讀過 | 我要投稿

習題07：

4、試證明，對非零自然數(shù) $n%5Cneq%202%2C6$ ，有 $Aut(S_%7Bn%7D%20)%5Ccong%20S_n$

思路：

1）證明對? $%5Cforall%20%5Cphi%5Cin%20%20%20Aut(S_n)$ ，他都將對換送到對換。方法是對比 $%5Cvert%20Z(ij)%20%5Cvert%20$ 與 $%5Cvert%20Z(%5Cphi(ij))%20%5Cvert%20$ ，或者比較二者的共軛類元素個數(shù)是否相同。

2）證明任何一個將對換送到對換的自同構(gòu)都是內(nèi)自同構(gòu)。也就是證 $%5Cphi%EF%BC%88ij%EF%BC%89%3D(%5Ctau(i)%20%5Ctau(j))$ ，而對換又都是由 $%EF%BC%881i%EF%BC%89$ 生成的。? 我們發(fā)現(xiàn) $%5Cvert%5C%7Bi%2Cj%5C%7D%5Ccap%20%5C%7Bk%2Cl%20%5C%7D%5Cvert%20%3D1$ $%5CLeftrightarrow%20%5Cvert%20%5C%7B%5Cphi(i)%2C%5Cphi(j)%5C%7D%5Ccap%20%5C%7B%5Cphi(k)%2C%5Cphi(l)%5C%7D%20%5Cvert%3D1$ 。由此可知考慮這樣的 $%5Ctau$ 是否存在，只需要考慮 $%5Ctau(1)$ 的定義是否良好即可。