這個(gè)題用初中方法做輔助線作答的解法已有很多。輔助線繁多看得人眼花繚亂。試用解析法建系直接算：

(1)∠ABF=∠EBF-∠ABE=∠EBC-∠ABE=∠ABC-2∠ABE=90°-2*15°=60°

AB=BC=BF

則△ABF是頂角為60°的等腰△，即為等邊△

(2)

①
以B為原點(diǎn)，BC和BA分別為x和y軸，建立平面直角坐標(biāo)系
不失一般性，令A(yù)B=BC=1
則A(0,1)，B(0,0)，C(1,0)，D(1,1)
令A(yù)E=x0，則E(x0,1)
BE方程：y=1/x0*x
令F(x1,y1)，則：
BF=BC=1：√(x1^2+y1^2)=1
CF⊥BE：y1/(x1-1)*1/x0=-1
解得：x1=(x0^2-1)/(x0^2+1)，y1=(2x0)/(x0^2+1)
則F((x0^2-1)/(x0^2+1),(2x0)/(x0^2+1))
AF方程：y-1=((2x0)/(x0^2+1)-1)/((x0^2-1)/(x0^2+1))x
即y=(1-x0)/(1+x0)x+1
聯(lián)立AF與BE，解得：
G(x0(x0+1)/(x0^2+1),(x0+1)/(x0^2+1))
△BGF≌△BGC(SAS)
若要△BGC為等腰△，則G必須在BC中垂線上，即橫坐標(biāo)為0.5
解得x0=-1+√2，此時(shí)∠ABE=arctan(-1+√2)=22.5°
②
S△BGF=S△BGC=1/2|向量BC×向量BG|
=1/2|(1,0)×(x0(x0+1)/(x0^2+1),(x0+1)/(x0^2+1))|
=1/2|(0,0,-(x0+1)/(x0^2+1))|
=(x0+1)/(2(x0^2+1))
求導(dǎo)得：
dS/dx0=(-x0^2-2x0+1)/(2(x0^2+1)^2)
由于分母恒大于0，分子是個(gè)開口向下的二次函數(shù)，所以
dS/dx0在(-∞,-1-√2)上＜0，在(-1-√2,-1+√2)上＞0，在(-1+2√2,+∞)上＜0
所以S在(-∞,-1-√2)上單減，在(-1-√2,-1+√2)上單增，在(-1+2√2,+∞)上單減
由于x0取值范圍是(0,1)，所以Smax=S(-1+√2)=1+√2
注意到題目要求AB=√3+√6，則可把原面積看做無量綱化的面積，取特征長度Lc=√3+√6
則在此特征長度下把無量綱面積轉(zhuǎn)化為有量綱面積S=Smax*Lc^2=(1+√2)*(√3+√6)^2=21+15√2

區(qū)區(qū)一個(gè)中考題，要么狂做輔助線，要么建系硬算。最后結(jié)果還不能直接用二次函數(shù)配方，只好求導(dǎo)。原題給了個(gè)這么惡心的邊長，要是不會(huì)量綱分析的話還得帶著這個(gè)邊長到處算。真的吐了。