一.基本不等式及其簡單證明

基本不等式常見形式為：

記憶方法：和定積最大，積定和最小

證明很簡單，因為，左邊展開可得，移項即得

注意到和在二次方程的韋達定理也有體現，所以本篇文章還會順帶給出題目構造二次方程的解法，供不知道的同學學習

二.例題

要用均值不等式，顯然要把拆成兩部分，并且要能求到這兩部分的乘積

因此，我們可以考慮過點作的垂線

根據為中點不難計算得出，再根據射影定理可知，因此，就有?，當且僅當時成立

所以

再來講一下構造二次方程的解法

這里我們知道了，不妨設，，因此

我們再設

則可以看作是（這里看不懂的話可以把這個方程的兩根關系寫一下）

有因為恒存在，即這個方程一定有兩個根，所以有，從而得到，所以或，而，所以

這也就可以得到

三.練習

如圖，已知平行四邊形，為邊上的一動點，直線交的延長線于．求

題目有點少，主要是找不到題目了，再加上初中的最值問題大多是將軍飲馬類的題型，用基本不等式的題目也是少之又少。但不排除這也是一種好方法，構造二次方程也是數學競賽中的常見思路，也值得學習學習