是的 下面給出證明

假設(shè)函數(shù) 在上下凸，即對任意有

并且在上二階可導(dǎo)

通過定義寫出二階導(dǎo)數(shù)

把上面兩個相加得到

因為 和? 都是一階可導(dǎo)并且導(dǎo)函數(shù)連續(xù) 所以可以反向用一下洛必達法則

套用不等式?

得到

嚴謹?shù)脑捒梢詷?gòu)造數(shù)列??把??換成?

構(gòu)造出??結(jié)果就是 每一項都是非負的

因此?

所以

同樣二階導(dǎo)非負也可以證出下凸性

?

運用拉格朗日中值定理

其中?

根據(jù)一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性