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對于arcsinx+arccosx=π/2(x∈[-1,1])的證明

2022-07-23 21:58 作者:奇母奇子奇函數(shù)  | 我要投稿

??arcsinx+arccosx=π/2是反三角函數(shù)中常用的誘導(dǎo)公式,所以知道其的由來會有助于對反三角函數(shù)的掌握,下面三種方法是基于作者的水平而做出的解答。

? 1.定義法

? 構(gòu)造一個直角三角形(只在(0,π/2)內(nèi)說明),則公式arcsinx+arccosx=π/2可以看做該直角三角形內(nèi)一個角與其余角的和,故arcsinx+arccosx=π/2成立。

? 2.反三角函數(shù)誘導(dǎo)公式意義及運算

綠的為y=arccos(x) 紅的為y=arcsin(x)

? sin(π/2-arccosx)=cosarccosx=x

? ∴π/2-arccosx ∈[-π/2,π/2]

? ∴由反三角函數(shù)運算法則可知:sin(π/2-arccosx)=x即arcsinx+arccosx=π/2成立。

? 3.導(dǎo)數(shù)法

? 令f(x)=arcsinx+arccosx?(x∈[-1,1])則:

? f’(x)=1/√(1-x2) -1/√(1-x2)=0

?∴f(x)=arcsinx+arccosx?(x∈[-1,1])為常數(shù)函數(shù)

? 而又f(0)=arcsin0+arccos0=0+π/2=π/2

? 故arcsinx+arccosx=π/2成立。

對于arcsinx+arccosx=π/2(x∈[-1,1])的證明的評論 (共 條)

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